So finden Sie den richtigen Filtertyp für Ihre Schaltung

Der Beitrag fasst die Unterschiede zwischen Butterworth-, Tschebyscheff-, linearphasigen und traditionellen Gauß‘schen Filtern zusammen. Eine Matrix zur Flachheit des Durchlassbereichs, dem Phasengang sowie den Überschwingern und Oszillationen in der Sprungantwort hilft bei der Auswahl des richtigen Filters für die Anwendung.

In gängiger Filtersoftware findet man zahlreiche Näherungen beispielsweise für Butterworth-, Bessel und Tschebyscheff-Filter. Dennoch kann es recht zeitraubend sein, die richtige Option für das eigene System herauszufinden. Wie können Sie also feststellen, welcher Filtertyp der richtige für Ihre Schaltung ist? Der folgende Artikel beschreibt die Unterschiede zwischen Bessel-, Butterworth- und Tschebyscheff-Filtern, linearphasigen Filtern und traditionellen Gauß‘schen Tiefpassfiltern. Ein typischer Butterworth-Tiefpassfilter ist in Bild 1 dargestellt.

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Verhalten allgemeiner Tiefpassfilter im Frequenz- und Zeitbereich

Bild 2 zeigt den Frequenzgang eines generischen Tiefpassfilters. Während die Frequenz (in Hertz) entlang der x-Achse aufgetragen ist, zeigt die y-Achse die Verstärkung der Schaltung in Volt/Volt (V/V) bzw. Dezibel (dB).

Der Frequenzbereich eines Tiefpassfilters gliedert sich in zwei Abschnitte, den Durchlass- und den Übergangsbereich. Im Durchlassbereich passiert das Eingangssignal den Filter mit minimalen Veränderungen. In welchem Ausmaß das Signal modifiziert wird, hängt vom Typ der Filter-Approximation ab. Im Fall des Butterworth-Filters ist die Modifikation minimal, da die Übertragungsfunktion dieses Filtertyps oft als maximal flach beschrieben wird. Ein Tschebyscheff-Filter weist dagegen eine gewisse Welligkeit im Durchlassbereich auf.

Im Übergangsbereich wird das Eingangssignal vom Filter mit zunehmender Frequenz immer stärker abgeschwächt. Die Änderungsrate der Dämpfung richtet sich in der Regel nach der Ordnung des Filters bzw. nach der Zahl seiner Polstellen. Ein Filter erster Ordnung (mit einer Polstelle) weist nach der 3-dB-Frequenz eine Flankensteilheit von 20 dB/Dekade auf, während ein Filter fünfter Ordnung (mit fünf Polstellen) auf fünf 20 dB/Dekade oder 100 dB/Dekade kommt. Auch die Flankensteilheit weist geringfügige Variationen von einem Näherungstyp zum anderen auf.

In Bild 2 wird die DC-Verstärkung des Filters durch den Parameter A angegeben. Bei einigen Filtern weist die DC-Verstärkung mit zunehmender Frequenz eine gewisse Welligkeit (Ripple) auf, deren Betrag mit RP bezeichnet ist.

Als Grenzfrequenz des Tiefpassfilters bezeichnet man die Frequenz, bei der die Verstärkung um 3 dB geringer ist als die DC-Verstärkung. Jenseits dieser Frequenz definiert ASB zusammen mit A und fS die Flankensteilheit.

Bild 3 gibt das Verhalten eines generischen Tiefpasses im Zeitbereich wieder. Zum Aufzeichnen dieses Verhaltens wird an den Eingang des Filters ein stufenförmiges Signal gelegt. In dem Diagramm ist die Zeit entlang der x-Achse aufgetragen, auf der y-Achse dagegen die Spannung (in Volt). Die Sprungantwort wird durch fünf Parameter definiert, die Laufzeitverzögerung, die Anstiegsgeschwindigkeit, das Überschwingen, die Einschwingzeit und den Fehler der Einschwingzeit.

Die Laufzeitverzögerung eines Filters wird durch den Phasenwinkel des Filters im Frequenzbereich bestimmt. Per Definition versteht man unter der Laufzeitverzögerung die Zeit zwischen der sprungförmigen Änderung des Eingangssignals und der daraus resultierenden Änderung des Ausgangssignals.

Nach der Laufzeitverzögerung versucht der Ausgang des Filters dem geänderten Eingangssignal zu folgen. Während dieser Zeit steigt das Ausgangssignal an, wobei die Anstiegsgeschwindigkeit zwischen 10 und 90 % der gesamten Auslenkung gemessen wird. Dieses Nacheilen verursacht ein Überschwingen des Ausgangssignals, das in der Regel in Prozent angegeben wird.

Der Verstärker versucht weiter, das Eingangssignal wiederzugeben. Während dieser Zeit erfolgt ein Einschwingen, dessen Dauer sich aus der Anstiegszeit und dem anschließenden Einschwingen des Ausgangssignals auf den finalen Wert zusammensetzt. Die Definition dieses finalen Werts ist das Fehlerband der Einschwingzeit. Bei 12-Bit-Systemen ist dieses Fehlerband in der Regel gleich der Hälfte des LSB (Least Significant Bit) bzw. gleich 0,01 %. In einem 16-Bit-System beträgt dieses Fehlerband üblicherweise 0,001 %.

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