EP-Basics: Leistungsberechnung Wechselstromleistung: Effektivwert oder Mittelwert?

Soll man eigentlich den Effektivwert (auch RMS – Root Mean Square; dt.: quadratischer Mittelwert) oder den Mittelwert benutzen, um die Wechselstromleistung von Signalen, Systemen oder Geräten anzugeben?

Dies hängt davon ab, wie man die Effektivleistung definiert. Sie wollen schließlich nicht den Effektivwert der Wechselstromkurve berechnen, denn das Ergebnis dieser Berechnung hätte keine physikalische Aussagekraft.

Dagegen verwenden Sie die Effektivwerte von Spannungen und/oder Strömen zur Berechnung der durchschnittlichen Leistung, also des Leistungsmittelwerts, was wiederum aussagefähige Resultate ergibt.

Sehen wir uns das einmal am praktischen Beispiel an: Wie hoch ist die abgegebene Leistung, wenn eine sinusförmige Wechselspannung von 1 V_eff an einen Widerstand von 1 Ω gelegt wird?

P = U²/R = 1²/1 = 1 W (1)

Dies ist allgemein bekannt, und somit gibt es hier auch keine Unstimmigkeiten.

Effektivleistung berechnen

Wie sieht es aber im Vergleich dazu mit der Berechnung der Effektivleistung aus? In Bild 1 ist eine sinusförmige Wechselspannung mit einem Effektivwert von 1 V dargestellt. Der Peak-to-Peak-Wert (von Scheitel zu Scheitel) beträgt somit U_p-p = 1 V_eff 2 √2 = 2,828 V. Die Spannung schlägt also von –1,414 bis +1,414 V aus.

Die Kurve in Bild 2 gibt die Leistung wieder, die bei dieser sinusförmigen Spannung von 1 V_eff gemäß P = U²/R an einem Widerstand von 1 Ω abfällt.

Die Kurve der Augenblicksleistung weist einen Offset von 1 W auf und schlägt von 0 bis 2 W aus. Der Effektivwert dieser Leistungskurve beträgt 1,225 W.

Eine Möglichkeit zur Berechnung dieses Werts ist in Gleichung 2 angegeben:

RMS = (Offset² + (AC_eff)²)^–1/2 (2)

RMS = (1 W² + (2 W / 2√2)²)^–1/2 = (1 + 0,5)^–1/2 = 1,225 W

Verifizieren lässt sich dies mit einer numerischen Reihe in MATLAB oder Excel.

Durchschnittsleistung berechnen

Der Mittelwert der Leistungskurve in Bild 2 beträgt dagegen 1 W, was sich einfach visuell herleiten lässt: Die Kurve pendelt symmetrisch um die 1-W-Linie. Durch Berechnung des numerischen Mittelwerts der Datenpunkte, die diese Kurve bilden, erhält man dasselbe Resultat. Die Durchschnittsleistung entspricht der Leistung, die man bei Verwendung der Effektivspannung erhält.

Die Leistung, die bei einer sinusförmigen Spannung von 1 V_eff an einem Widerstand von 1 Ω abfällt, beträgt also nicht 1,225 W, sondern 1 W. Folglich liefert die durchschnittliche Leistung – also der Mittelwert – den korrekten Wert, und somit ist auch die durchschnittliche Leistung von physikalischer Relevanz.

Die Effektivleistung (nach der hier zugrunde gelegten Definition) hat dagegen keine sinnvolle Bedeutung, hat also keine physikalische bzw. elektrische Relevanz, sondern stellt lediglich eine Größe dar, die man zu Übungszwecken berechnen kann.

Eine triviale Übung ist es ebenfalls, die gleiche Analyse mit einem sinusförmigen Strom von 1 A_eff durch einen 1-Ω-Widerstand anzustellen. Das Ergebnis ist das gleiche.

Verlustleistung: Mittelwert und Effektivwert bei ICs

Stromversorgungen für integrierte Schaltungen liefern in der Regel eine Gleichspannung, weshalb die Effektivleistung bei der Versorgung von ICs kein Thema ist. Bei Gleichstrom sind der Durchschnitts- und der Effektivwert identisch mit dem DC-Wert.

Fazit: Nach der hier erläuterten Definition müssen Sie also bei zeitlich veränderlichen Leistungen wie Spannungen und Strömen (z. B. Rauschen, HF-Signale, Oszillatoren) aufpassen, welche Leistung Sie verwenden: Nutzen Sie hier die Effektivspannung und den Effektivstrom um den Mittelwert der Leistung zu berechnen, denn damit erhalten Sie aussagefähige Leistungsangaben. (kr)

* Doug Ito ist Applikationsingenieur Highspeed ADC bei Analog Devices in San Diego / USA.

(ID:48977142)