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Analogsignale aufgedröselt: Die effektive Rauschbandbreite bei Delta-Sigma-ADCs (Teil 3)

| Autor / Redakteur: Bryan Lizon* / Kristin Rinortner

Äquivalente Rauschbandbreite: Wie berechnet man die ENBW bei Delta-Sigma-ADCs?
Äquivalente Rauschbandbreite: Wie berechnet man die ENBW bei Delta-Sigma-ADCs? (Bild: beholdereye – stock.adobe.com)

In den vorangegangenen Teilen der Serie „Analogsignale aufgedröselt“ habe ich erklärt, was man unter der äquivalenten (effektiven) Rauschbandbreite (ENBW) versteht, welchen Nutzen die Angabe der ENBW hat und woraus die ENBW eines Systems resultiert. Jetzt lernen Sie, wie man die ENBW berechnet.

Im diesem Teil werde ich mich weiter mit jenen Aspekten der effektiven Rauschbandbreite befassen, die für Delta-Sigma-A/D-Wandler und das Systemdesign relevant sind. Anhand eines einfachen Beispiels, eines zweistufigen Filters, zeige ich, wie man die ENBW berechnet.

In diesem Beispiel soll es um ein einfaches, zweistufiges Datenerfassungs-System gehen. Wie in Bild 1 zu sehen ist, schließt sich an den eingangsseitigen Anti-Alias-Filter ein Delta-Sigma-ADC mit integriertem SINC-Filter an. Ich konzentriere mich auf diese beiden Filtertypen, weil sie in der Regel den größten Einfluss auf die ENBW haben. Dennoch lässt sich die Analyse auf jede Art und Anzahl weiterer Filter anwenden.

Als Anti-Alias-Filter soll hier ein RC-Filter mit einer Polstelle dienen, da ich bereits im letzten Teil beschrieben habe, wie sich die ENBW dieses Filtertyps berechnen lässt (Gleichung 1 gibt die Berechnungsweise noch einmal wieder). Hinzu kommt, dass ein Delta-Sigma-ADC in der Regel nur einen einfachen RC-Filter benötigt, um ein hinreichendes Anti-Aliasing zu erreichen. In diesem Beispiel benutze ich zwei Widerstände mit 500 und einen Kondensator mit einer Kapazität von 100 nF, aber es können selbstverständlich auch andere Kombinationen verwendet werden. Die Grenzfrequenz bei –3 dB beträgt 1590 Hz

Nachdem die Werte der passiven Bauelemente festgelegt sind, lässt sich mithilfe von Gleichung 1 die ENBW des Anti-Alias-Filters berechnen:

ENBWeinpoliger RC-Filter = 1,57 * f–3dB = 1,57 * 1590 Hz = 2500 Hz (Gleichung 1)

Anschließend kann wie in Bild 2 gezeigt der Frequenzgang des Anti-Alias-Filters grafisch dargestellt werden. Dabei gibt der rot hinterlegte Bereich die ENBW des Filters wieder.

Nachdem Sie jetzt mit dem Frequenzgang des Anti-Alias-Filters vertraut sind, können Sie im nächsten Schritt den Frequenzgang des SINC-Filters des A/D-Wandlers bestimmen. Für dieses Beispiel habe ich den rauscharmen 32-Bit-A/D-Wandler ADS1262 gewählt, ist die beschriebene Analyse ist aber generell auf jeden Delta-Sigma-ADC anwendbar. Ich benutze in diesem Fall den SINC4-Filter des ADS1262 mit einer Datenrate von 50 Sample/s. In Bild 3 ist das im Datenblatt enthaltene Diagramm des Frequenzgangs dieses Filters mit diesen Einstellungen wiedergegeben (erstellt mit dem Konfigurationswerkzeug des ADS1262).

Unterschiede im Frequenzgang der Filter

Ein zwar subtiler, aber gleichwohl bedeutender Unterschied zwischen diesen beiden Filter-Frequenzgängen ist, dass das Diagramm zum SINC-Filter (Bild 3) eine lineare Teilung für die Frequenz aufweist, während die Frequenzachse des zum Anti-Alias-Filter gehörenden Diagramms (Bild 2) eine logarithmische Teilung besitzt. Dieser Unterschied erklärt sich aus der geringen Datenrate der meisten Delta-Sigma-ADCs, die die Darstellung der Frequenz über mehrere Dekaden hinweg meist entbehrlich macht. Leider erschwert diese Wahl jedoch das Kombinieren beider Filter in einem Diagramm.

Darüber hinaus muss man sich in Erinnerung rufen, dass sich der Frequenzgang eines SINC-Filters unendlich oft wiederholt und nicht einfach bei 300 Hz „anhält“, wie man bei einem Blick auf Bild 3 vermuten könnte.

Berücksichtigt man beide Aspekte und gibt den Frequenzgang des SINC-Filters auf einer logarithmischen Achse über einen deutlich größeren Frequenzbereich wieder, erhält man ein Ergebnis, das deutlich anders aussieht als die Diagramme, die man in den meisten Datenblättern zu A/D-Wandlern findet (Bild 4).

Mit einer bis 10 MHz reichenden, logarithmisch geteilten Frequenzachse erkennt man die hochfrequenten Spitzen, an denen der sich wiederholende Frequenzgang des Filters deutlich wird. Weshalb ist dies wichtig? Durch diese Wiederholung erhält man bei der Integration unter dieser Frequenzgang-Kurve des SINC-Filters eine unendliche ENBW (das Integral des SINC-Filters divergiert gegen unendlich). In Bild 5 sind die Frequenzgänge des Anti-Alias-Filter und des SINC-Filters und die ENBWs beider Filter dargestellt.

Wie führt man diese Analyse nun angesichts der unendlichen ENBW des SINC-Filters fort? Sie müssen Grenzwerte für die Integration vorgeben. Üblicherweise ist ein Vielfaches (1 oder 2) der Frequenz des Modulators akzeptabel, im vorliegenden Fall lässt sich der Anti-Alias-Filter als Grenze verwenden.

Die ENBW des Gesamtsystems

Da beide Filter nun als Amplitudendiagramm (in dB) mit dem gleichen Maßstab auf der x-Achse dargestellt sind, lassen sich beide addieren, um die ENBW des Gesamtsystems zu ermitteln. Hierbei erhält man den in Bild 6 gezeigten Filter-Frequenzgang. Die Integration des kombinierten Frequenzgangs des RC- und des Digitalfilters ergibt nunmehr eine ENBW von 14 Hz. Diese ist also um einige Größenordnungen kleiner als die der beiden Filter einzeln.

Die geringere ENBW erklärt sich daraus, dass der Anti-Alias-Filter die Rauschleistung des SINC-Filters bei höheren Frequenzen dämpft, sodass weniger Rauschen in das System gelangt. Dies erklärt ebenfalls, weshalb man den unendlichen Frequenzgang des SINC-Filters nicht unbedingt berücksichtigen muss. Der Anti-Alias-Filter beseitigt bereits einen Großteil der Rauschleistung bei hochfrequenten, bei Vielfachen von fMOD, auftretenden Spitzen, die sonst in das Durchlassband zurückgefaltet würden. Viele Analogentwickler sind der Ansicht, der erklärte Zweck des Anti-Alias-Filters sei das Entfernen von niederfrequentem Rauschen. Dies liegt aber üblicherweise in der Zuständigkeit des digitalen Filters des Delta-Sigma-ADCs.

Würde man dieser Ansicht folgen und den Versuch machen, ein Anti-Alias-Filter mit sehr niedrig angesetzter Grenzfrequenz zu entwerfen, müssten Sie mit sehr großen Widerstands- und Kapazitätswerten arbeiten. Passive Bauelemente mit großen Werten verlängern jedoch die Signal-Einschwingzeit, was man meist vermeiden will. Doch auch wenn Sie bereit sind, eine Verlängerung der Einschwingzeit hinzunehmen, können Leckströme am Eingang des A/D-Wandlers an großen Filterwiderständen zu erheblichen Spannungsabfällen führen, die Ungenauigkeiten auf der Systemebene verursachen. Für das System ist es deshalb tatsächlich günstig, wenn man Anti-Alias-Filter für hochfrequentes Rauschen konzipiert, da sich mit kleineren passiven Bauelementen die soeben angesprochenen Probleme vermeiden lassen.

Wie wirken sich Änderungen am System auf die ENBW aus?

Nehmen wir einmal an, Sie wollten die Abtastrate des A/D-Wandlers oder die Grenzfrequenz des Anti-Alias-Filters verändern. Welche Auswirkungen hätte dies auf die ENBW? Grundsätzlich würde man zu der Einschätzung neigen, dass der Filter mit der niedrigeren Grenzfrequenz die ENBW-Berechnung dominiert, wie ich es bereits gezeigt habe.

Im Allgemeinen trifft dies auch zu. Zur Verdeutlichung enthält Tabelle 2 eine Übersicht über alle verfügbaren Digitalfilter-Ausgangsdatenraten des ADS1262 sowie die entsprechende System-ENBW für einen Bereich von Grenzfrequenzen des Anti-Alias-Filters. In Tabelle 1 angegeben ist ebenfalls der –3dB-Punkt des ADC, der im Prinzip seiner Grenzfrequenz entspricht.

Die farbigen Markierungen in Tabelle 1 haben folgende Bedeutung: Grün = Die ENBW des Systems weicht um maximal ca. 10 % vom -3-dB-Punkt des A/D-Wandlers ab. Blau = Die ENBW des Systems weicht um maximal ca. 10 % von der Grenzfrequenz des Anti-Alias-Filters ab. Gelb = Die ENBW des Systems weicht um mehr als 10 % vom –3-dB-Punkt des A/D-Wandlers und der Grenzfrequenz des Anti-Alias-Filters ab.

Diese Zusammenhänge zwischen der System-ENBW und den Grenzfrequenzen der einzelnen Filter geben Ihnen die Möglichkeit, die System-ENBW durch Näherungen zu ermitteln, anstatt komplexe Integrationen auszuführen. Voraussetzung hierfür ist, dass eine der in den Gleichungen 2 und 3 ausgedrückten Bedingungen erfüllt ist:

f3dB (ADC) ≪ fC (AA filter) → ENBWSystem ≅ f 3dB (ADC) (Gleichung 2)

f3dB (ADC) ≫ fC (AA filter) → ENBWSystem ≅ fC (AA filter) (Gleichung 3)

fC bezeichnet die Grenzfrequenz. Ist keine der beiden Bedingungen erfüllt und liegt f3dB (ADC) somit relativ nah an fc (AA filter), müssen die in diesem Abschnitt skizzierten Integrationen durchgeführt werden. Abgesehen davon würden diese Bedingungen auch generell auf eine beliebige Anzahl zusätzlicher Filterstufen zutreffen, sofern ihre Grenzfrequenzen deutlich größer sind als die des ADCs oder des Anti-Alias-Filters. In diesen Fällen wäre es nicht notwendig, ihre ENBWs zu berechnen, sodass sich die Analyse weniger komplex gestalten würde.

Im nächsten Artikel der Reihe „Analogsignale aufgedröselt” werde ich die Signalkette durch integrierte und externe Verstärker ergänzen.

Das sollten Sie sich merken:

  • Die ENBW wird in der Regel vom Filter mit der niedrigsten Grenzfrequenz dominiert. Dies ist bei Delta-Sigma-ADCs meist ein Anti-Alias-Filter oder ein digitaler Filter.
  • Anti-Alias-Filter werden eingesetzt, um das Rauschen bei hohen, und nicht etwa bei niedrigen Frequenzen zu entfernen.
  • Man kann die ENBW entweder durch direkte Integration berechnen, oder aber in den meisten Fällen mit dem –3-dB-Punkt des A/D-Wandlers oder der Grenzfrequenz des Anti-Alias-Filters näherungsweise ermitteln.
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* Bryan Lizon arbeitet als Product Marketing Engineer bei Texas Instruments in Dallas / USA.

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